En optimización matemática, el término algoritmo simplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones ..
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El método Simplex es un procedimiento que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima el mayor o menor valor posible, (maximizar o minimizar) según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones).Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
En el aspecto empresarial la aplicación matemática es de vital importancia para la toma de decisiones principalmente en ámbitos relacionado con la distribución eficaz de recursos limitados (dinero, materia prima, mano de obra) entre otros, por ejemplo para que empresa no es importante minimizar costos y maximizar guanacias y así mismo tomar decisiones adecuadas que más le favorezcan a la empresa
Antes de comenzar con la explicacion del metodo vamos a recordar algunas operaciones con fracciones ya que vamos a nesecitar claridad con estas
- multiplicación de dos fracciones
-
Ejemplo:
- La división de dos fracciones re realiza multiplicando en equis
Ejemplo: 
suma y resta
Resta 
Suma
A continuación vamos a resolver
un sistema, en este caso vamos a minimizar
Por ejemplo
Z= -5x1-4x2
Restricciones
2x1+ 2x2 ≤14
6x1+3x2 ≤ 36
5x1+10x2≤60
1 Lo primero
que debemos hacer es convertir todo en
igualdad entonces en el caso de z queda
así:
Z+5x1+4x2 ya que todo lo que pasa por encima del igual
cambia de signo
Ahora las restricciones, aquí
adicionamos unas variables llamadas (variables de holgura)
Pero que es una variable de holgura?
Pues estas son variables que se agregan a la restricción para que la relación de la restricción sea de igualdad (representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho).comúnmente denominadas con una (s) pero esto puede variar.
Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de no negatividad.
Tenemos:
2x1+ 2x2 +s1+0+0≤14
6x1+3x2+0+s2+0 ≤ 36
5x1+10x2+0+0+s3≤ 60
2. vamos a construir el primer cuadro, podemos enumerar las filas con (R)
pues nos va a servir más adelante
z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
|
R1
|
1
|
5
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
R2
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
0
|
14
|
R3
|
0
|
6
|
3
|
0
|
1
|
0
|
36
|
R4
|
0
|
5
|
10
|
0
|
0
|
1
|
60
|
3) Ahora elegimos la columna más positiva y la fila menor
(Nota) si estuviéramos
maximizando elegimos la columna más negativa y
la fila menor
z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
||
R1
|
1
|
5
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
R2
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
0
|
14
|
14/2=7
|
R3
|
0
|
6
|
3
|
0
|
1
|
0
|
36
|
36/6=6 menor
|
R4
|
0
|
5
|
10
|
0
|
0
|
1
|
60
|
60/5=12
|
4)
convertimos el elemento pivote en 1
multiplicando toda la fila por 1/6
(Nota) si estuviéramos
maximizando elegimos la columna más negativa y
la fila menor
z
|
X1 |
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
|
R1
|
1
|
5 |
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
R2
|
0
|
2 |
2
|
1
|
0
|
0
|
14
|
R3
|
0
|
1
|
1/2
|
0
|
1/6
|
0
|
6
|
R4
|
0
|
5 |
10
|
0
|
0
|
1
|
60
|
5) convertimos
en cero lo que está por encima y por debajo del elemento pivote multiplicando en
la misma columna por ejemplo -5*R1+R3=R1
Esto nos daría -5*1=-5+5=0 aplicamos esto en toda la fila
z
|
X1 |
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
||
R1
|
1
|
5 |
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-5*R3+R1=R1
|
R2
|
0
|
2 |
2
|
1
|
0
|
0
|
14
|
-2*R3+R2=R2
|
| R3 | 0 | 1 | 1/2 | 0 | 1/6 | 0 | 6 | |
R4
|
0
|
5 |
10
|
0
|
0
|
1
|
60
|
-5*R3+R4=R4
|
Y tenemos la siguiente tabla en donde ubicamos un nuevo
elemento pivote, (en esta tabla es 1) y utilizamos la misma
metodología usada anteriormente (columna más positiva, fila menor) y convertir
lo que está por encima y por debajo en cero
z
|
X1 |
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
|||
R1
|
1
|
0 |
3/2
|
0
|
-5/6
|
0
|
-30
|
-3*R2+R1=R1
|
|
R2
|
0
|
0
|
1
|
1
|
-1/3
|
0
|
2
|
2/1= 2 menor
|
|
R3
|
0 | 1 |
1/2
|
0 | 1/6 | 0 | 6 | -1/2*R2+R3=R3 | 6/1/2=12 |
R4
|
0
|
0 |
-15/2
|
0
|
-5/6
|
1
|
30
|
15/2*2+R4=R4
|
30/-15/2=-4
|
Es recomendable utilizar decimales para tener números más
exacto
Y tenemos:
z
|
X1 |
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Respuesta
|
|
R1
|
1
|
0 |
0
|
-3/2
|
-1/3
|
0
|
-33
|
R2
|
0
|
0 |
1
|
1
|
-1/3
|
0
|
2
|
R3
|
0 | 1 | 0 | 1 | -1/3 | 0 | 5 |
R4
|
0
|
0 |
0
|
-15/2
|
-5/3
|
1
|
15
|
En donde:
z=-33
X1=5
X2=2
Podemos comprobar el ejercicio reemplazando estos
resultados en la función objetivo inicial y quedaría así: -5(5)-4(2)= -33
A continuación veremos otro ejemplo esta vez con
maximización
Existen herramientas muy útiles para resolver problemas
matemáticos en este caso hay una muy útil si se sabe utilizar de la mejor
manera, esta herramienta es muy sencilla de utilizar se llama PH simplex (al final les dejo el link), al entrar encontramos una primera opción en
donde nos pide el número de variables de
decisión y el número de restricciones y a continuación se despliega un cuadro
como el siguiente y ahí solo es llenarlo.
Seguido de esto simplemente le damos continuar y van a ir
apareciendo todos los cuadros con sus resultados hasta llegar a la
respuesta pero ojo, es una herramienta
para guiarte no para que aprendas ya que aunque nos da las tablas no nos dice
de donde salieron esos resultados así
que si tú no tienes certeza del manejo de las operaciones para llegar a esos
resultados no te va a servir de nada y te vas a confundir aún más.
Link de la herramienta http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=es
Para mayor información consultar:
La información es bastante clara, y los ejemplos son pertinentes. Además el paso a paso de los mismos hace tener mejor comprensión del tema. Lo último es muy importante.
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